• Що таке система числення?
• Непозиційні системи числення
• Напівпозиційні системи числення
• Позиційні системи числення

Ми пояснюємо, що таке система числення, і вивчаємо характеристики кожного типу системи на прикладах різних культур.

Кожна система числення містить певний і кінцевий набір символів.

Що таке система числення?

Система числення — це набір символів і правил, за допомогою яких можна виразити кількість предметів у числі. встановити, тобто за допомогою якого можна представити всі дійсні числа. Це означає, що кожна система числення містить заданий і кінцевий набір символів, а також заданий і кінцевий набір правил, за якими їх комбінують.

Системи числення були одним з головних винаходів людини в давнину, і кожна з стародавніх цивілізацій мала свою систему, пов'язану з її світоглядом, тобто з її культурою.

Загалом, системи нумерації можна розділити на три різні типи:

• непозиційні системи. Це ті, у яких кожен символ відповідає фіксованому значенню, незалежно від позиції, яку він займає в числі (якщо він з’являється першим, збоку чи після).
• Напівпозиційні системи. Це ті, у яких значення символу має тенденцію бути фіксованим, але може бути змінено в певних ситуаціях появи (хоча вони, як правило, є винятками). Вона розуміється як проміжна система між позиційною і непозиційною.
• Позиційні або зважені системи.Це ті, у яких значення символу визначається як його власним вираженням, так і місцем, яке він займає в числі, будучи здатним коштувати більше чи менше або виражати різні значення залежно від того, де він розташований.

Також можна класифікувати системи числення на основі числа, яке вони використовують як основу для своїх розрахунків. Так, наприклад, сучасна західна система числення є десятковою (оскільки її основа — 10), тоді як шумерська система числення була шістдесятичною (її основа — 60).

Непозиційні системи числення

Непозиційні системи були легкими для вивчення, але вимагали численні символи.

Непозиційні системи числення були першими і мали найпримітивніші основи: пальці, вузли на мотузці або інші способи запису для узгодження множин чисел. Наприклад, якщо рахувати на пальцях однієї руки, то можна рахувати на цілих руках.

У цих системах цифри мають власне значення, незалежно від їх розташування в ланцюжку символів, і для формування нових символів значення символів повинні бути додані (з цієї причини вони також відомі як адитивні системи). Ці системи були простими, легкими для вивчення, але вимагали численні символи для вираження великих величин, тому вони були не зовсім ефективними.

Приклади цих типів систем:

• Єгипетська система числення. Виник приблизно в третьому тисячолітті до н.е. C., було засновано на десяти і використовувано ієрогліфи різні для кожного порядку одиниць: один для одиниці, один для десятка, один для сотні і так далі до мільйона.
• Система числення ацтеків. Як типово для Мексиканської імперії, вона мала 20 в якості основи і використовувала певні об’єкти як символи: прапор дорівнював 20 одиницям, пір’їна або декілька волосків дорівнювали 400, сумка чи мішок дорівнювали 8000 тощо.
• Грецька система числення.Зокрема, іонійський, був винайдений і поширений у східному Середземномор'ї з четвертого століття до нашої ери. C., замінивши існуючу акрофонічну систему. Це була алфавітна система, яка використовувала літери для позначення цифр, зіставляючи літеру з її основним місцем в алфавіті (A=1, B=2). Таким чином, кожній цифрі від 1 до 9 була присвоєна літера, кожній десятці — інша конкретна літера, кожній сотні — ще одна, поки не було використано 27 літер: 24 грецького алфавіту та три спеціальні символи.

Напівпозиційні системи числення

Напівпосадові системи відповідали потребам більш розвиненої економіки.

Напівпозиційні системи числення поєднують поняття фіксованого значення кожного символу з певними правилами позиціонування, тому їх можна розуміти як гібридну або змішану систему між позиційною та непозиційною. Вони користуються можливостями для представлення великих чисел, керування порядком чисел і формальних процедур, таких як множення, тому вони є кроком вперед у складності порівняно з непозиційними системами.

Значною мірою появу напівпозиційних систем можна зрозуміти як перехід до більш ефективної моделі нумерації, яка могла б задовольнити складніші потреби більш розвиненої економіки, як-от у великих імперій класичної давнини.

Приклади цієї моделі нумерації:

• Римська система числення. Створений в римську давнину, він зберігся до наших днів. У цій системі цифри будували за допомогою певних великих літер латинського алфавіту (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 тощо), значення яких було фіксованим і діяло на основі додавання та віднімання, залежно від де з’являється символ.Якщо символ був ліворуч від символу рівного або меншого значення (як у II = 2 або XI = 11), загальні значення слід додати; а якщо символ був ліворуч від символу вищого значення (як у IX = 9 або IV = 4), їх потрібно було відняти.
• Класична китайська система числення. Його походження датується приблизно 1500 роком до нашої ери. C. і є дуже строгою системою вертикального представлення чисел за допомогою власних символів, що поєднує дві різні системи: одну для розмовного та повсякденного письма, а іншу для комерційних чи фінансових записів. Це була десяткова система, яка мала дев’ять різних знаків, які можна було розмістити поруч один з одним для додавання їхніх значень, іноді вставляючи спеціальний знак або чергуючи розташування знаків для позначення певної операції.

Позиційні системи числення

Сучасна система нумерації походить від індусько-арабської системи.

Позиційні системи числення є найбільш складними та ефективними з трьох існуючих типів систем числення. Поєднання правильного значення символів і значення, яке призначається їх положенням, дозволяє їм будувати дуже високі фігури з дуже малою кількістю символів, додаючи та/або множачи значення кожного з них, що робить їх більш універсальними та сучасними системами.

Як правило, позиційні системи використовують фіксований набір символів, і через їх поєднання решта можливих фігур створюється до безкінечності, без необхідності створювати нові знаки, а радше відкриваючи нові стовпці символів. Звичайно, це означає, що помилка в рядку також змінює загальне значення числа.

Перші приклади систем такого типу виникли у великих імперіях або найвибагливіших стародавніх культурах у культурних і комерційних питаннях, таких як Вавилонська імперія другого тисячоліття до нашої ери. C. Приклади цього типу системи нумерації:

• Сучасна десяткова система числення.Використовуючи лише цифри від 0 до 9, ви можете побудувати будь-яке число, додаючи стовпці, значення яких додається, коли ви рухаєтесь праворуч, взявши за основу десять. Таким чином, додаючи символи до 1, ми можемо побудувати 10, 195, 1958 або 19589. Важливо уточнити, що використовувані символи походять від індуїстсько-арабських цифр.
• Індо-арабська система числення. Винайдений стародавніми мудрецями Індії, а пізніше успадкований арабами-мусульманами, він досяг Заходу через Аль-Андалус і в кінцевому підсумку замінив римські цифри традиційний. У цій системі, подібній до сучасної десяткової, одиниці від 0 до 9 представлені спеціальними гліфами, які представляють значення кожної за допомогою ліній і кутів. Система роботи цієї системи в основному така ж, як і сучасна західна десяткова система.
• Система числення майя. Він був створений для вимірювання часу, а не для здійснення математичних операцій, і його основа була вігезимальною, а його символи відповідають календарю цієї доколумбової цивілізації. Фігури, згруповані 20 на 20, представлені основними знаками (смугами, крапками та равликами або мушлями); а для переходу до наступного балу додається бал на наступному рівні написання. Крім того, Майя вони одними з перших почали використовувати число нуль.